如何证明矩阵指数 \(e^{At}\) 的 Laplace 变换是 \((sI-A)\) 的逆？
在现代控制领域, 矩阵指数 \(e^{At}\) 是一个非常重要的概念, 它在描述线性系统的动态行为时起着关键作用。目前已知一个非常常见的公式是
\[e^{A t}=\mathcal{L}^{-1}\left[(s I-A)^{-1}\right] \tag{1}\]即，矩阵指数矩阵指数 \(e^{At}\) 的 Laplace 变换是 \((s I-A)^{-1}\), 那么如何证明该公式呢？
一种常见于参考书上的证明过程：
线性系统的微分方程描述如下：
\[x^{\prime}(t)=A x(t) + B u(t)\tag{2}\]在零输入情况下，系统的微分方程可以简化为:
\[x^{\prime}(t)=A x(t)\tag{3}\]其中 \(x(t)\) 是状态向量, \(A\) 是系统矩阵。
根据一阶线性齐次微分方程的通解，我们可以容易得到系统的时域解为：
\[x(t)=e^{A t} x(0) \tag{4}\]换个思路，在复频域中, 通过 Laplace 变换, 我们可以将微分方程转化为复频域方程:
\[s X(s)-x(0)=A X(s)\tag{5}\]解这个方程得到:
\[X(s)=(s I-A)^{-1} x(0)\tag{6}\]为了找到时域解，我们需要对复频域解进行 Laplace 逆变换，即：
\[x(t)=\mathcal{L}^{-1}\left[(s I-A)^{-1}\right]x(0)\tag{7}\]将公式(7)和公式(4)对照，就引出了我们要证明的公式：
\[e^{A t}=\mathcal{L}^{-1}\left[(s I-A)^{-1}\right]\tag{8}\]第二种证明方法
第一种方法非常合理，但无法直观地感受到矩阵指数矩阵指数 \(e^{A t}\) 的 Laplace 变换是 \((s I-A)^{-1}\)。因此，笔者提出下面这一种证明的策略：
首先, 定义矩阵指数 \(e^{At}\) 为幂级数形式:
\[e^{A t}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(A t)^n}{n!}\tag{9}\]我们对上述幂级数进行 Laplace 变换，得到
\[\mathcal{L}[e^{A t}]=\mathcal{L}\left[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(A t)^n}{n!}\right]\tag{10}\]由于 Laplace 变换是线性的，可以逐项变换：
\[\mathcal{L}[e^{A t}]=\sum_{n=0}^{\infty} \mathcal{L}\left[\frac{(A t)^n}{n!}\right]\tag{11}\]进而，考虑矩阵 \((A t)^n\) 的 Laplace 变换。利用单项式 \(t^n\) 的 Laplace 变换公式
\[\mathcal{L}\left[t^n\right]=\frac{n!}{s^{n+1}}\]因此对于矩阵 \(A\) 有:
\[\mathcal{L}\left[(A t)^n\right]=A^n \mathcal{L}\left[t^n\right]=A^n \frac{n!}{s^{n+1}}\tag{12}\]所以:
\[\mathcal{L}\left[\frac{(A t)^n}{n!}\right]=A^n \frac{1}{s^{n+1}}\tag{13}\]将上述结果代入求和公式:
\[\mathcal{L}\left[e^{A t}\right]=\sum_{n=0}^{\infty} A^n \frac{1}{s^{n+1}}\tag{14}\]这个级数是一个几何级数, 经过求和得到:
\[\begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty} A^n \frac{1}{s^{n+1}} &=\frac{1}{s} \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{A}{s}\right)^n \\ &=\frac{1}{s}\left(I-\frac{A}{s}\right)^{-1} \\ &=(s I-A)^{-1} \end{aligned}\tag{15}\]因此:
\[\mathcal{L}\left[e^{A t}\right]=(s I-A)^{-1}\tag{16}\]最后，通过Laplace逆变换，我们得到：
\[e^{A t}=\mathcal{L}^{-1}\left[(s I-A)^{-1}\right]\tag{17}\]参考文献
[1] 现代控制理论(第2版) 张嗣瀛, 高立群 编著